Variation démographique Calculatrice

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What Is Population Variance?

Population variance, written σ², describes the spread of a group when you have measured every member of it. There is nothing to estimate, so you take the average of the squared deviations from the mean exactly as it is: divide by N, the number of values. Typical examples are the marks of every student in one class, the weight of every parcel in a single shipment you weighed in full, or one company's monthly sales for a completed year. The key question is not how big your data set is, but whether it is the whole group you want to describe.

Worked Example: A Complete Tutorial Group

A tutor has exactly six students and wants to describe how spread out their test scores are. These six scores are the entire group, so population variance applies.

Data (marks):70, 85, 75, 90, 65, 95

  1. Mean. x̄ = 480 / 6 = 80
  2. Deviations and squares. Subtract the mean from each value and square the result:
xᵢxᵢ − x̄(xᵢ − x̄)²
70−10100
85525
75−525
9010100
65−15225
9515225
Sum0700
  1. Sum of squares. Σ(xᵢ − x̄)² = 700
  2. Population variance. σ² = 700 / 6 = 116.6667; population standard deviation σ = √116.6667 = 10.8012

Population variance σ² = 700 / 6 ≈ 116.67, so the population standard deviation is σ ≈ 10.80 marks. If the same six scores were treated as a sample, s² = 700 / 5 = 140; the gap between the two answers is largest for small groups like this one.

Formula

Population variance uses the population mean μ and divides by N:

Population Variance

σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N
  • σ²Population variance
  • xᵢEach value in the population
  • μPopulation mean
  • NNumber of values in the population

Population Standard Deviation

σ = √σ²
  • σPopulation standard deviation, in the original units

How to Calculate Population Variance Step by Step

  1. Confirm you have the entire population.Every member of the group you are describing must be in the data.
  2. Find the population mean (μ).Add all values and divide by N.
  3. Compute deviations.Subtract μ from each value.
  4. Square each deviation.Calculate (xᵢ − μ)².
  5. Add the squared deviations.Σ(xᵢ − μ)² is the sum of squares.
  6. Divide by N.σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N.

More Population Variance Examples

1All Students in a Class

Data:78, 82, 91, 67, 85, 73, 88, 79
Solution:Mean μ = 80.375. Sum of squared deviations = 435.875.
Answer:Population variance (σ²) = 435.875 / 8 ≈ 54.48

2Every Product in a Small Batch

Data:10.2, 10.0, 10.1, 10.3, 10.0
Solution:Mean μ = 10.12. Sum of squared deviations = 0.068.
Answer:Population variance (σ²) = 0.068 / 5 = 0.0136

3Complete Inventory Count

Data:150, 200, 175, 180, 195
Solution:Mean μ = 180. Squared deviations: 900, 400, 25, 0, 225. Sum of squares = 1550.
Answer:Population variance (σ²) = 1550 / 5 = 310

4All Employees' Years of Experience

Data:2, 5, 8, 3, 12, 1, 7
Solution:Mean μ ≈ 5.43. Sum of squared deviations ≈ 89.71.
Answer:Population variance (σ²) ≈ 89.71 / 7 ≈ 12.82

How to Use This Population Variance Calculator

Switch the calculator to Population, then:

  1. Enter every value in the population, separated by commas, spaces or line breaks.
  2. Check that the result card says Population Variance (σ²).
  3. Read σ², the population standard deviation σ and the mean μ.
  4. Open the calculation steps to see the division by N written out with your numbers.

What the Calculator Shows You

  • The exact population variance and standard deviation, with no correction applied.
  • The sample figure for the same data, so you can see the difference if you are unsure which applies.
  • Every deviation and squared deviation.
  • Calculations run in your browser; your numbers are not sent anywhere.

When to Use Population Variance

A single class or team

A teacher describing the spread of marks for the class they actually taught.

Census data

Statistics about a population that has been counted in full.

Inspected-in-full batches

When every unit in a lot has been measured, not just a few.

Completed periods

Describing last year's twelve monthly figures as they are, without predicting anything.

Probability distributions

The variance of a die roll or another fully specified distribution is a population variance.

Population or Sample? How to Decide

Size does not decide it. What matters is which group your conclusions are about:

It depends on your question

If you are describing "all students in Section A", Section A's marks are the population. If you are describing "all students at the university", Section A is a sample.

Describing versus predicting

Last year's monthly sales are a population if you only want to describe last year. If you are using them to say something about future months, treat them as a sample.

Same data, two answers

For the tutorial group above, σ² ≈ 116.67 but s² = 140. With 600 values instead of 6 the two would be almost identical.

When in doubt, use sample variance

Most real data is a sample of something larger, and the n − 1 version will not understate the spread.

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Foire Aux Questions: Variation démographique Calculatrice

Tout ce que vous devez savoir sur la variance.

Qu’est-ce que la variance de la population ?

La variance de la population (σ²) mesure la répartition exacte des points de données par rapport à la moyenne de la population (μ). La formule est σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N, où N est le nombre total de points de données dans la population. Contrairement à la variance de l'échantillon, elle se divise par N (et non par N−1) car vous disposez de toutes les données — aucune estimation ou correction n'est nécessaire.

Quand dois-je utiliser la variance de population ?

Utilisez la variance de la population lorsque votre ensemble de données inclut chaque membre de la population que vous étudiez. Exemples : tous les élèves d'une classe, chaque produit d'un lot, les données complètes du recensement, toutes les transactions sur une période donnée. Si vous disposez d’un échantillon (sous-ensemble) d’une population plus large, utilisez plutôt la variance de l’échantillon. La question clé est la suivante : vos données représentent-elles le groupe complet ?

Quelle est la variance de population de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ?

Pour 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 : Moyenne (μ) = 40/8 = 5. Écarts : −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4. Au carré : 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16. Somme des carrés = 32. Variance de la population (σ²) = 32/8 = 4. Écart type de la population (σ) = √4 = 2.

Quelle est la différence entre σ² et s² ?

σ² (variance de la population) divise par N et utilise la moyenne de la population μ. s² (variance de l'échantillon) divise par n−1 et utilise la moyenne de l'échantillon x̄. La variance de l'échantillon est toujours légèrement supérieure à la variance de la population pour le même ensemble de données. Cette différence (correction de Bessel) est plus importante pour les petits ensembles de données et devient négligeable pour les grands N.

La variance de la population peut-elle être nulle ?

Oui, la variance de la population est égale à zéro lorsque toutes les valeurs sont identiques. Si chaque point de données de la population a la même valeur (par exemple, {7, 7, 7, 7}), alors chaque écart par rapport à la moyenne est nul, ce qui fait que σ² = 0. Cela indique une variabilité nulle – aucun écart du tout. Toute différence entre les valeurs produit une variance positive.

Comment trouver la variance de la population dans Excel ?

Dans Excel, utilisez =VAR.P(range) pour la variance de la population. Exemple : =VAR.P(A1:A20). Pour l’écart type de la population, utilisez =STDEV.P(range). Dans Google Sheets, les mêmes fonctions fonctionnent. En Python : np.var(data) (la valeur par défaut est la variance de la population dans NumPy). Dans R : var(x) * (n-1)/n car la var() de R est par défaut la variance de l'échantillon.