मानक विचलन कैलकुलेटर

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What Is Standard Deviation?

Standard deviation measures how far values typically sit from the mean of a data set. It is written σ when the data is a whole population and s when it is a sample. Unlike variance, it is in the same units as your data, so a standard deviation of 3 kg means something you can picture directly. A small value means the numbers are bunched close to the mean; a large value means they are spread out. This calculator gives you both the population and the sample standard deviation, and the variance they come from.

Formula

There are two versions. They differ only in what you divide by before taking the square root.

Population Standard Deviation

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]
  • σPopulation standard deviation
  • xᵢEach individual data value
  • μPopulation mean
  • NNumber of values in the population

Sample Standard Deviation

s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]
  • sSample standard deviation
  • x̄Sample mean
  • n − 1Degrees of freedom (Bessel's correction)

How to Calculate Standard Deviation Step by Step

  1. Calculate the mean.Add all values and divide by the count.
  2. Find each deviation.Subtract the mean from every value: (xᵢ − x̄).
  3. Square the deviations.Squaring removes the minus signs: (xᵢ − x̄)².
  4. Add the squares.This total is the sum of squares, Σ(xᵢ − x̄)².
  5. Divide.Divide by N for a population or by n − 1 for a sample. The result is the variance.
  6. Take the square root.The square root of the variance is the standard deviation.

Standard Deviation Examples

1Student Test Scores (sample)

Data:72, 85, 90, 68, 95
Solution:Mean = (72 + 85 + 90 + 68 + 95) / 5 = 82. Squared deviations: 100, 9, 64, 196, 169. Sum of squares = 538. Sample variance = 538 / 4 = 134.5.
Answer:Sample standard deviation (s) ≈ 11.60

2Daily Temperatures for One Week's Weekdays (°C, population)

Data:20, 22, 19, 23, 21
Solution:Mean = 21. Squared deviations: 1, 1, 4, 4, 0. Sum of squares = 10. Population variance = 10 / 5 = 2.
Answer:Population standard deviation (σ) ≈ 1.41

3Product Weights (grams, sample)

Data:500, 502, 498, 501, 499
Solution:Mean = 500. Squared deviations: 0, 4, 4, 1, 1. Sum of squares = 10. Sample variance = 10 / 4 = 2.5.
Answer:Sample standard deviation (s) ≈ 1.58

4Monthly Rainfall (mm), both versions

Data:50, 75, 30, 90, 60
Solution:Mean = 61. Deviations: −11, 14, −31, 29, −1. Squared: 121, 196, 961, 841, 1. Sum of squares = 2120. Population variance = 2120 / 5 = 424. Sample variance = 2120 / 4 = 530.
Answer:σ ≈ 20.59 | s ≈ 23.02

5Household Energy Bills ($), both versions

Data:95, 110, 87, 102, 98, 115
Solution:Mean ≈ 101.17. Sum of squares ≈ 518.83. Population variance ≈ 86.47. Sample variance ≈ 103.77.
Answer:σ ≈ 9.30 | s ≈ 10.19

How to Use This Standard Deviation Calculator

Paste or type your numbers and the results update straight away:

  1. Enter your values separated by commas, spaces or line breaks. You can paste a column from a spreadsheet.
  2. Choose Sample if your numbers are drawn from a larger group, or Population if they are the whole group.
  3. Read the standard deviation, variance, mean and the other summary figures.
  4. Open "Show Calculation Steps" to see every deviation and squared deviation, then copy the results if you need them.

What the Calculator Shows You

  • Both the sample and the population result, so you can see the effect of the n − 1 correction.
  • The full working: mean, each deviation, each squared deviation and the sum of squares.
  • The mean, range, sum of squares and coefficient of variation from the same input.
  • A chart of your values with the mean and a ±1 standard deviation band.
  • Calculations run in your browser; your numbers are not sent anywhere.

Where Standard Deviation Is Used

Education

Seeing whether a class's marks are tightly grouped or widely spread.

Finance

Volatility of returns is usually reported as a standard deviation.

Manufacturing

Control charts set their limits a fixed number of standard deviations from the target.

Healthcare research

Results tables report "mean ± SD" for measurements such as blood pressure.

Sport

Comparing how consistent two athletes' times or scores are.

Weather

Describing how much daily temperatures vary around the monthly average.

Common Mistakes When Calculating Standard Deviation

These are the errors that most often lead to a wrong answer:

Using the wrong divisor

Dividing by N when your data is a sample makes the result too small. Use n − 1 unless you really do have every member of the group.

Forgetting to square the deviations

Raw deviations from the mean always add up to zero, so averaging them tells you nothing.

Forgetting the square root

If your answer is in squared units, you have calculated the variance, not the standard deviation.

Mixing units

Values recorded partly in centimetres and partly in metres give a meaningless result. Convert everything first.

Rounding too early

Rounding the mean before computing deviations introduces errors that grow through the calculation. Keep full precision until the end.

Standard Deviation or Variance: Which Should You Report?

They describe the same spread. The right one depends on who will read it and what happens next.

For people reading the result, use standard deviation

It is in the same units as the data. "The average is 50 ± 5 kg" is easy to picture; "the variance is 25 kg²" is not.

For further calculation, use variance

Variances of independent quantities add: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Standard deviations do not, which is why ANOVA and regression work with variances.

For the 68–95–99.7 rule, use standard deviation

For roughly normal data, about 68% of values fall within one standard deviation of the mean, 95% within two and 99.7% within three.

Converting is one step

Variance = SD². SD = √variance. You never need to recalculate from the raw data to switch between them.

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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: मानक विचलन कैलकुलेटर

विचरण के बारे में वह सब कुछ जो आपको जानना आवश्यक है।

1, 2, 3, 4, 5 का मानक विचलन क्या है?

1, 2, 3, 4, 5 के मानक विचलन की गणना निम्नानुसार की जाती है। माध्य = 3. वर्ग विचलन: 4, 1, 0, 1, 4. वर्गों का योग = 10. जनसंख्या मानक विचलन (σ) = √(10/5) = √2 ≈ 1.414. नमूना मानक विचलन = √(10/4) = √2.5 ≈ 1.581। यदि ये सभी आपके डेटा बिंदु हैं तो जनसंख्या एसडी का उपयोग करें; यदि वे किसी बड़े समूह के नमूने का प्रतिनिधित्व करते हैं तो नमूना एसडी का उपयोग करें।

आप चरण दर चरण मानक विचलन की गणना कैसे करते हैं?

चरण दर चरण मानक विचलन की गणना करने के लिए: 1. अपने डेटा सेट का माध्य (औसत) ज्ञात करें। 2. विचलन प्राप्त करने के लि��� प्रत्येक मान से माध्य घटाएं। 3. प्रत्येक विचलन का वर्ग करें. 4. वर्ग विचलन का औसत ज्ञात करें (जनसंख्या के लिए n से विभाजित करें, नमूने के लिए n−1)। यह आपको भिन्नता देता है. 5. विचरण का वर्गमूल लें. परिणाम मानक विचल�� है. हमारा कैलकुलेटर हर चरण को स्वचालित रूप से दिखाता है।

मानक विचलन और विचरण के बीच क्या अंतर है?

मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है। विचरण माप वर्ग इकाइयों में फैलता है, जबकि मानक विचलन इसे आपके डेटा की मूल इकाइयों में परिवर्तित कर देता है। उदाहरण के लिए, यदि आपका डेटा मीटर में है, तो भिन्नता मीटर² में है, लेकिन मानक विचलन मीटर में है। मानक विचलन की व्याख्या करना आम तौर पर आसान होता है क्योंकि यह कच्चे डेटा के समान पैमाने का उपयोग करता है।

एक्सेल में मानक विचलन की गणना कैसे करें?

एक्सेल में, नमूना मानक व��चलन के लिए STDEV.S(range) और जनसंख्या मानक विचलन के लिए STDEV.P(range) का उपयोग करें। उदाहरण: =STDEV.S(A1:A10). Google शीट्स में, वही फ़ंक्शन काम करते हैं। पायथन में, नमूना एसडी के लिए np.std(data, ddof=1) का उपयोग करें। आर में, sd(x) डिफ़ॉल्ट रूप से नमूना मानक विचलन लौटाता है।

एक अच्छा मानक विचलन क्या है?

कोई सार्वभौमिक रूप से "अच्छा" मानक विचलन नहीं है - यह संदर्भ पर निर्भर करता है। निम्न मानक विचलन का अर्थ है कि डेटा बिंदु माध्य के चारों ओर मजबूती से एकत्रित होते हैं (अधिक सुसंगत)। उच्च मानक विच��न का अर्थ है कि डेटा व्यापक रूप से फैला हुआ है (अधिक परिवर्तनशील)। गुणवत्ता नियंत्रण में, स्थिरता के लिए कम एसडी को प्राथमिकता दी जाती है। निवेश में, उच्च एसडी अधिक जोखिम का संकेत देता है। विभिन्न पैमानों के साथ डेटासेट में प्रसार की तुलना करने के लिए विभिन्नता के गुणांक (सीवी) का उपयोग करें।

क्या मानक विचलन ऋणात्मक हो सकता है?

नहीं, मानक विचलन कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता। यह विचरण का वर्गमूल है, और विचरण हमेशा शून्य या धनात्मक होता है (क्योंकि इसमें अंतर के वर्ग का योग होता है)। 0 के मानक विचलन का मतलब है कि सभी मान समान हैं। डेटा में कोई भी प्रसार ���कारात्मक मानक विचलन उत्पन्न करता है।

Should I report the standard deviation or the variance?

Report the standard deviation when people need to read the result, because it is in the same units as the data ("heights vary by about 2.5 inches"). Use the variance when you are doing further maths with it: in ANOVA and regression, and when combining independent variables, variances add but standard deviations do not.

Can the standard deviation be larger than the variance?

Yes, whenever the variance is between 0 and 1. For a variance of 0.25 the standard deviation is √0.25 = 0.5, which is larger. They are equal at 1 (and at 0), and for any variance above 1 the standard deviation is smaller, e.g. variance 4 gives SD 2.