サンプルの分散 電卓

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What Is Sample Variance?

Sample variance, written s², is what you calculate when your numbers are a sample from a bigger group and you want to estimate how spread out that bigger group is. A survey of 200 customers, ten bolts measured from a day's production, or eight volunteers in a pilot study are all samples. The calculation is the same as for population variance except for the last step: you divide the sum of squared deviations by n − 1 instead of n. That small change, called Bessel's correction, stops the result from systematically underestimating the true spread. This page explains when to use it, why it works and how to calculate it by hand.

Worked Example: Task Completion Times

A manager times 8 employees, chosen at random from a team of 200, on the same task. The 8 times are a sample, so the variance of the whole team is estimated with s².

Data (minutes):12, 15, 11, 14, 13, 16, 9, 14

  1. Mean. x̄ = 104 / 8 = 13
  2. Deviations and squares. Subtract the mean from each value and square the result:
xᵢxᵢ − x̄(xᵢ − x̄)²
12−11
1524
11−24
1411
1300
1639
9−416
1411
Sum036
  1. Sum of squares. Σ(xᵢ − x̄)² = 36
  2. Sample variance. s² = 36 / (8 − 1) = 5.1429; sample standard deviation s = √5.1429 = 2.2678

Sample variance s² = 36 / 7 ≈ 5.143 square minutes, so the sample standard deviation is s ≈ 2.268 minutes. Dividing by 8 instead would give 4.5, which would understate the spread of the whole team.

Formula

Sample variance uses the sample mean x̄ and divides by n − 1:

Sample Variance

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
  • s²Sample variance
  • xᵢEach value in the sample
  • x̄Sample mean
  • n − 1Sample size minus one (degrees of freedom)

Sample Standard Deviation

s = √s²
  • sSample standard deviation, in the original units

How to Calculate Sample Variance Step by Step

  1. Check that you have a sample.Your data should be a subset of the group you want to describe. If it is the whole group, use population variance instead.
  2. Find the sample mean.x̄ = Σxᵢ / n.
  3. Subtract the mean from each value.These deviations always add up to zero.
  4. Square and add the deviations.This is the sum of squares, Σ(xᵢ − x̄)².
  5. Divide by n − 1.For 8 values divide by 7, for 30 values divide by 29, and so on.
  6. Take the square root if you need s.The sample standard deviation is in the same units as the data.

More Sample Variance Examples

1Four Measurements From a Batch

Data:3, 7, 7, 19
Solution:Mean = 9. Deviations: −6, −2, −2, 10. Squared: 36, 4, 4, 100. Sum of squares = 144.
Answer:Sample variance = 144 / 3 = 48, s ≈ 6.928

2Survey: Hours of Sleep (5 respondents)

Data:7, 6, 8, 5, 9
Solution:Mean = 7. Deviations: 0, −1, 1, −2, 2. Squared: 0, 1, 1, 4, 4. Sum of squares = 10.
Answer:Sample variance = 10 / 4 = 2.5, s ≈ 1.581

3Quality Check: Bottle Fill Volumes (ml)

Data:498, 502, 500, 497, 503
Solution:Mean = 500. Deviations: −2, 2, 0, −3, 3. Squared: 4, 4, 0, 9, 9. Sum of squares = 26.
Answer:Sample variance = 26 / 4 = 6.5, s ≈ 2.550

How to Use This Sample Variance Calculator

Make sure the calculator is set to Sample, then:

  1. Enter your sample values, separated by commas, spaces or line breaks.
  2. Check that the result card says Sample Variance (s²). You need at least two values.
  3. Read s², the sample standard deviation s and the sample mean.
  4. Open the calculation steps to see the n − 1 division written out with your numbers.

What the Calculator Shows You

  • The sample variance and sample standard deviation with the n − 1 divisor applied.
  • The population figure for the same data, so you can see how much the correction changes the answer.
  • Every deviation and squared deviation, useful for homework or checking a spreadsheet.
  • Calculations run in your browser; your numbers are not sent anywhere.

When to Use Sample Variance

Surveys

Responses from some customers, voters or students, used to estimate the whole group.

Experiments and clinical trials

Participants are a sample of the people the treatment is meant for.

Quality control

Measuring a few items from a production run to judge the whole run.

A/B tests

Visitors in each variant are a sample of all future visitors.

Pilot studies

A small first sample used to estimate variance when planning a larger study.

Inferential statistics

t-tests, confidence intervals and ANOVA all use s², not σ².

Why Dividing by n − 1 Works: A Small Demonstration

You can see the bias, and the fix, with a population of just three numbers.

The population

Take the population {2, 4, 6}. Its mean is 4 and its population variance is σ² = 8 / 3 ≈ 2.667.

Every possible sample of two

Drawing two values with replacement gives 9 equally likely samples. For a sample of two, the sum of squared deviations is (a − b)² / 2. Three samples have a gap of 0, four have a gap of 2 and two have a gap of 4.

Dividing by n

Dividing each sample's sum of squares by n = 2 gives values whose average over the 9 samples comes out at 1.333, only half of the true 2.667.

Dividing by n − 1

Dividing by n − 1 = 1 instead gives values whose average over the 9 samples comes out at exactly 2.667, the true population variance. That is what "unbiased" means.

Why it happens

Each sample's mean sits in the middle of that sample, closer to its values than the true mean usually is. Measuring from it shrinks the squared deviations, and n − 1 makes up the difference.

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よくある質問: サンプルの分散 電卓

分散について知っておくべきことのすべて。

標本分散とは何ですか?

標本分散 (s²) は、より大きな母集団から採取された標本内で値がどのように分散しているかを測定します。式はs² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) です。これは、真の母集団分散の不偏推定値を提供するために、n−1 (n ではない) で除算します。この補正 (ベッセル補正と呼ばれる) は、母集団の真の平均値の代わりにサンプル平均値を使用することを補正します。

標本分散を段階的に計算するにはどうすればよいですか?

標本分散を計算するには: 1. 標本平均を求めます: x̄ = Σxᵢ / n。 2. 各値から平均値を引きます: (xᵢ − x̄)。 3. 各偏差を 2 乗します: (xᵢ − x̄)²。 4. すべての二乗偏差を合計します: Σ(xᵢ − x̄)²。 5. n − 1 (n ではありません) で割ります: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)。 n−1 は非常に重要です。これが母集団の分散ではなく標本の分散を決定します。

標本分散が n ではなく n−1 で割られるのはなぜですか?

このn−1 で割ることをベッセル補正といいます。標本から分散を計算すると、標本平均は母集団の真の平均よりも標本データ ポイントに近づく傾向があります。これにより、体系的に分散が過小評価されます。 n−1 で割ることでこの偏りを修正し、 母集団分散の不偏推定量を生成します。数値 n−1 は自由度を表します。平均によってデータが制約されるため、1 度失われます。

標本分散と母集団分散をいつ使用する必要がありますか?

データが大規模な母集団から抽出されたサブセットである場合は、標本分散 (s²) を使用します。これには、調査、実験、臨床試験、およびほとんどの現実世界のシナリオが含まれます。 母集団分散 (σ²) は、国勢調査データ、生徒の完全なクラス、またはバッチ内のすべての製品など、母集団全体からすべてのデータ ポイントが得られる場合にのみ使用します。疑わしい場合は、標本の分散を使用します。

3、7、7、19 の標本分散はいくらですか?

サンプル 3、7、7、19 の場合: 平均 = (3+7+7+19)/4 = 9。偏差: −6、−2、−2、10。偏差の 2 乗: 36、4、4、100。平方和 = 144。サンプル分散 (s²) = 144 / (4−1) = 144 / 3 = 48 個です。サンプルの標準偏差 = √48 ≈ 6.928。高い分散は、19 と他の値の間の大きなギャップを反映しています。

標本分散にはデータポイントがいくつ必要ですか?

標本分散には少なくともデータポイントが 2 つ必要です。データ点が 1 つだけの場合、n−1 = 0 となり、ゼロによる除算は未定義になります。実際には、データポイントが多いほど、より信頼性の高い分散推定値が得られます。正規分布データの場合、標本分散が安定するための一般的なしきい値は 30 個以上の観測値です。