Wariancja próbki Kalkulator

Wprowadzanie Danych

Oddziel wartości przecinkami, spacjami, tabulatorami lub znakami nowej linii
0 wprowadzonych wartości

Wprowadź wartości danych, aby zobaczyć wyniki

What Is Sample Variance?

Sample variance, written s², is what you calculate when your numbers are a sample from a bigger group and you want to estimate how spread out that bigger group is. A survey of 200 customers, ten bolts measured from a day's production, or eight volunteers in a pilot study are all samples. The calculation is the same as for population variance except for the last step: you divide the sum of squared deviations by n − 1 instead of n. That small change, called Bessel's correction, stops the result from systematically underestimating the true spread. This page explains when to use it, why it works and how to calculate it by hand.

Worked Example: Task Completion Times

A manager times 8 employees, chosen at random from a team of 200, on the same task. The 8 times are a sample, so the variance of the whole team is estimated with s².

Data (minutes):12, 15, 11, 14, 13, 16, 9, 14

  1. Mean. x̄ = 104 / 8 = 13
  2. Deviations and squares. Subtract the mean from each value and square the result:
xᵢxᵢ − x̄(xᵢ − x̄)²
12−11
1524
11−24
1411
1300
1639
9−416
1411
Sum036
  1. Sum of squares. Σ(xᵢ − x̄)² = 36
  2. Sample variance. s² = 36 / (8 − 1) = 5.1429; sample standard deviation s = √5.1429 = 2.2678

Sample variance s² = 36 / 7 ≈ 5.143 square minutes, so the sample standard deviation is s ≈ 2.268 minutes. Dividing by 8 instead would give 4.5, which would understate the spread of the whole team.

Formula

Sample variance uses the sample mean x̄ and divides by n − 1:

Sample Variance

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
  • s²Sample variance
  • xᵢEach value in the sample
  • x̄Sample mean
  • n − 1Sample size minus one (degrees of freedom)

Sample Standard Deviation

s = √s²
  • sSample standard deviation, in the original units

How to Calculate Sample Variance Step by Step

  1. Check that you have a sample.Your data should be a subset of the group you want to describe. If it is the whole group, use population variance instead.
  2. Find the sample mean.x̄ = Σxᵢ / n.
  3. Subtract the mean from each value.These deviations always add up to zero.
  4. Square and add the deviations.This is the sum of squares, Σ(xᵢ − x̄)².
  5. Divide by n − 1.For 8 values divide by 7, for 30 values divide by 29, and so on.
  6. Take the square root if you need s.The sample standard deviation is in the same units as the data.

More Sample Variance Examples

1Four Measurements From a Batch

Data:3, 7, 7, 19
Solution:Mean = 9. Deviations: −6, −2, −2, 10. Squared: 36, 4, 4, 100. Sum of squares = 144.
Answer:Sample variance = 144 / 3 = 48, s ≈ 6.928

2Survey: Hours of Sleep (5 respondents)

Data:7, 6, 8, 5, 9
Solution:Mean = 7. Deviations: 0, −1, 1, −2, 2. Squared: 0, 1, 1, 4, 4. Sum of squares = 10.
Answer:Sample variance = 10 / 4 = 2.5, s ≈ 1.581

3Quality Check: Bottle Fill Volumes (ml)

Data:498, 502, 500, 497, 503
Solution:Mean = 500. Deviations: −2, 2, 0, −3, 3. Squared: 4, 4, 0, 9, 9. Sum of squares = 26.
Answer:Sample variance = 26 / 4 = 6.5, s ≈ 2.550

How to Use This Sample Variance Calculator

Make sure the calculator is set to Sample, then:

  1. Enter your sample values, separated by commas, spaces or line breaks.
  2. Check that the result card says Sample Variance (s²). You need at least two values.
  3. Read s², the sample standard deviation s and the sample mean.
  4. Open the calculation steps to see the n − 1 division written out with your numbers.

What the Calculator Shows You

  • The sample variance and sample standard deviation with the n − 1 divisor applied.
  • The population figure for the same data, so you can see how much the correction changes the answer.
  • Every deviation and squared deviation, useful for homework or checking a spreadsheet.
  • Calculations run in your browser; your numbers are not sent anywhere.

When to Use Sample Variance

Surveys

Responses from some customers, voters or students, used to estimate the whole group.

Experiments and clinical trials

Participants are a sample of the people the treatment is meant for.

Quality control

Measuring a few items from a production run to judge the whole run.

A/B tests

Visitors in each variant are a sample of all future visitors.

Pilot studies

A small first sample used to estimate variance when planning a larger study.

Inferential statistics

t-tests, confidence intervals and ANOVA all use s², not σ².

Why Dividing by n − 1 Works: A Small Demonstration

You can see the bias, and the fix, with a population of just three numbers.

The population

Take the population {2, 4, 6}. Its mean is 4 and its population variance is σ² = 8 / 3 ≈ 2.667.

Every possible sample of two

Drawing two values with replacement gives 9 equally likely samples. For a sample of two, the sum of squared deviations is (a − b)² / 2. Three samples have a gap of 0, four have a gap of 2 and two have a gap of 4.

Dividing by n

Dividing each sample's sum of squares by n = 2 gives values whose average over the 9 samples comes out at 1.333, only half of the true 2.667.

Dividing by n − 1

Dividing by n − 1 = 1 instead gives values whose average over the 9 samples comes out at exactly 2.667, the true population variance. That is what "unbiased" means.

Why it happens

Each sample's mean sits in the middle of that sample, closer to its values than the true mean usually is. Measuring from it shrinks the squared deviations, and n − 1 makes up the difference.

Powiązane narzędzia kalkulatora

Odkryj inne powiązane kalkulatory do analizy wariancji, rozproszenia i rozkładu statystycznego.

σ²

Wariancja populacji Kalkulator

Natychmiastowe obliczanie wariancji populacji (σ²) dzięki rozwiązaniom krok po kroku. Dzieli przez N w celu uzyskan…

Kalkulator
σ

Odchylenie standardowe Kalkulator

Błyskawicznie obliczaj odchylenie standardowe, korzystając z rozwiązań krok po kroku. Wprowadź swój zestaw danych i…

Kalkulator
sp²

Połączona wariancja Kalkulator

Oblicz zbiorczą wariancję z wielu grup lub próbek. Łącz wariancje próbek dla testów t dla dwóch próbek, ANOVA i met…

Kalkulator
x̄

Mieć na myśli Kalkulator

Natychmiast oblicz średnią (średnią) dowolnego zestawu danych. Uzyskaj średnią arytmetyczną wraz z wariancją, odchy…

Kalkulator

Najczęściej Zadawane Pytania: Wariancja próbki Kalkulator

Wszystko, co musisz wiedzieć o wariancji.

Co to jest wariancja próbki?

Wariancja próbki (s²) mierzy stopień rozproszenia wartości w próbie pobranej z większej populacji. Wzór to s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1). Dzieli się przez n-1 (nie n), aby zapewnić obiektywne oszacowanie prawdziwej wariancji populacji. Ta poprawka — zwana poprawką Bessela — kompensuje użycie średniej próbki zamiast prawdziwej średniej populacji.

Jak krok po kroku obliczyć wariancję próbki?

Aby obliczyć wariancję próbki: 1. Znajdź średnią próbki: x̄ = Σxᵢ / n. 2. Od każdej wartości odejmij średnią: (xᵢ - x̄). 3. Podnieś każde odchylenie do kwadratu: (xᵢ − x̄)². 4. Zsumuj wszystkie kwadraty odchyleń: Σ(xᵢ − x̄)². 5. Podziel przez n – 1 (nie n): s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1). Wartość n-1 jest kluczowa — to ona tworzy wariancję próbki, a nie wariancję populacji.

Dlaczego wariancja próbki dzieli się przez n−1 zamiast przez n?

Dzielenie przez n−1 nazywa się poprawką Bessela. Kiedy obliczasz wariancję na podstawie próbki, średnia próbki jest zwykle bliżej punktów danych próbki niż rzeczywista średnia populacji. To systematycznie niedoszacowuje wariancję. Dzielenie przez n-1 koryguje to obciążenie, tworząc nieobciążony estymator wariancji populacji. Liczba n−1 reprezentuje stopnie swobody — tracisz jeden stopień, ponieważ średnia ogranicza dane.

Kiedy powinienem zastosować wariancję próbki a wariancję populacji?

Użyj wariancji próbki (s²), jeśli dane stanowią podzbiór pobrany z większej populacji – obejmuje to ankiety, eksperymenty, badania kliniczne i większość rzeczywistych scenariuszy. Używaj wariancji populacji (σ²) tylko wtedy, gdy masz każdy pojedynczy punkt danych z całej populacji – dane ze spisu ludności, całą klasę uczniów lub każdy produkt w partii. W razie wątpliwości użyj wariancji próbki.

Jaka jest wariancja próbki 3, 7, 7, 19?

Dla próbki 3, 7, 7, 19: Średnia = (3+7+7+19)/4 = 9. Odchylenia: −6, −2, −2, 10. Kwadraty odchyleń: 36, 4, 4, 100. Suma kwadratów = 144. Wariancja próbki (s²) = 144 / (4−1) = 144 / 3 = 48. Próbka odchylenie standardowe = √48 ≈ 6,928. Wysoka wariancja odzwierciedla dużą różnicę między 19 a pozostałymi wartościami.

Ile punktów danych potrzebuję do wariancji próbki?

Aby określić wariancję próbki, potrzebujesz co najmniej 2 punktów danych. Przy tylko 1 punkcie danych n-1 = 0 i dzielenie przez zero jest nieokreślone. W praktyce większa liczba punktów danych pozwala na bardziej wiarygodne oszacowanie wariancji. W przypadku danych o rozkładzie normalnym powszechnym progiem stabilizacji wariancji próbki jest ponad 30 obserwacji.